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By Alexander Schmidt

Das vorliegende Buch gibt eine Einführung in die Grundgedanken der modernen algebraischen Zahlentheorie, einer der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. Ausgehend von Themenbereichen, die üblicherweise der elementaren Zahlentheorie zugeordnet werden, führt es anhand konkreter Problemstellungen zu den Techniken, die das Herz der modernen Theorie ausmachen. Hierbei wird besonderer Wert auf Lokal-Global-Prinzipien für diophantische Gleichungen gelegt. Die Dedekindsche Theorie der Ideale wird für den Fall quadratischer Zahlkörper vollständig entwickelt. Es werden die p-adischen Zahlen eingeführt und der berühmte Satz von Hasse-Minkowski über cause quadratische Formen bewiesen. Der technische Apparat wird behutsam und nur so weit entwickelt, wie es für die konkreten Fragestellungen nötig ist. Daher können weite Teile des Buches ohne Vorwissen gelesen werden. Umfangreiches Übungsmaterial rundet die Darstellung ab.

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Paulo Ribenboim behandelt Zahlen in dieser außergewöhnlichen Sammlung von Übersichtsartikeln wie seine persönlichen Freunde. In leichter und allgemein zugänglicher Sprache berichtet er über Primzahlen, Fibonacci-Zahlen (und das Nordpolarmeer! ), die klassischen Arbeiten von Gauss über binäre quadratische Formen, Eulers berühmtes primzahlerzeugendes Polynom, irrationale und transzendente Zahlen.

Zahlentheorie: Algebraische Zahlen und Funktionen

Prof. Helmut Koch ist Mathematiker an der Humboldt Universität Berlin.

Introduction to Classical Mathematics I: From the Quadratic Reciprocity Law to the Uniformization Theorem

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Fermat's Last Theorem: The Proof

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Kapitel 2 Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz (QRG) wurde von Euler vermutet und zuerst von Gauß bewiesen. Es ist einer der wichtigsten S¨atze der klassischen Zahlentheorie. Es setzt die Frage, ob eine Primzahl p quadratischer Rest modulo einer Primzahl q ist, in Beziehung zu der reziproken“ Frage, ob q qua” dratischer Rest modulo p ist. Ein solcher Zusammenhang ist erstaunlich und tiefliegend, da eine Aussage u ¨ ber Reste modulo q mit einer u ¨ ber Reste modulo p verkn¨ upft wird.

Sei µ : A {0} −→ IN eine euklidische Normfunktion. Wir setzen µ(a′ ). ν(a) = min ′ a =a ˆ Wir zeigen zun¨ achst, dass auch ν eine euklidische Normfunktion ist.

Beweis. Sei (x, y, z) eine von (0, 0, 0) verschiedene ganzzahlige L¨osung. Ist ur z = 0, so impliziert x4 = 17y 4 sofort x = y = 0. Entsprechend kann man f¨ x = 0 oder y = 0 argumentieren. Also sind x, y und z von Null verschieden. A. annehmen, dass x, y, z ≥ 1. Sind die drei Zahlen x, y, z nicht paarweise teilerfremd, so k¨ onnen wir die L¨ osung verkleinern. B. eine Primzahl p mit p|x und p|z, so gilt p2 |17y 4 , also p | y. Dann gilt p4 |2z 2 und folglich p2 |z. Wir erhalten osung. Also k¨onnen wir annehmen, dass mit (x/p, y/p, z/p2) eine kleinere L¨ die drei Zahlen x, y, z paarweise teilerfremd sind.

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