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By Georg Cantor

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Urn nachzuweisen, daB jede Fundamentalfolge konvergiert, werden zwei Hilfssatze benotigt: § 5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen 41 (I) Jede Foige (an) besitzt eine monotone Teilfolge. (2) Jede Fundamentalfolge ist beschrankt. Wir stellen den Beweis von (1) und (2) einen Augenblick zurlick und beweisen zunachst, daB jede Fundamentalfolge (an) konvergiert: Es sei (an) eine monotone Teilfolge. Sie ist beschrankt. Somit existiert s = limj_ 00 ani' Wir behaupten, daB dann auch s = limn _ 00 an ist.

Modern ausgedriickt bedeutet dies: Man definiert a: b = A : B, wenn fUr aIle natiirlichen Zahlen n und m gilt: n . a > m . b genau dann, wenn n . A > m . B, n . a = m . b genau dann, wenn n . A = m . B, n . a < m . b genau dann, wenn n . A < m . B. Zahlreiche Satze der Proportionenlehre konnen wir heute als Rechengesetze fUr reelle Zahlen deuten. Man muB allerdings beachten, daB die Griechen nicht einmal rationale, geschweige denn irrationale Verhiiltnisse als Erweiterungen des Bereichs der natiirlichen Zahlen auffaBten, sondern als Begriffe eigener Art ansahen.

Die Ordnung ist vollstiindig im Sinne des Axioms R3 : Es sei A eine nach unten beschriinkte Menge von Schnitten. zeA. IX ein Schnitt. ) Das 2. und 3. Schnittaxiom fUr {J sind leicht nachzuweisen, ebenso die Tatsache, daD fJ ein InfImum von A ist. :}' < IX} ist. Man nimmt niimlich das Infimum }' = U«eR IX von a. Diesen Sachverhalt driickt DEDEKIND durch den Satz aus, der als drittes Motto uber diesem Kapitel steht. Die anderen heiden Motti (ARISTOTELES und LEIBNIZ) zeigen, daB die zugrunde liegende Vorstellung des zusammenhiingenden Kontinuums sehr alt ist.

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