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By Kristina Reiss

Kenntnisse uber den Aufbau des Zahlsystems und uber elementare zahlentheoretische Prinzipien gehoren zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorliegende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit naturlichen Zahlen uber Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzbetrachtungen bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Wert wird dabei auf eine verstandliche und umfassende Darstellung des Stoffes gelegt. Beweisideen, die hinter stringent durchgefuhrten Beweisen stehen, und die Verknupfung von Fachwissen mit Schulbezugen sind dabei als besondere Merkmale hervorzuheben. Erganzt wird die Darstellung durch viele Ubungsaufgaben, die mit Losungshinweisen und vollstandigen Losungen versehen sind.

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Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie

Paulo Ribenboim behandelt Zahlen in dieser außergewöhnlichen Sammlung von Übersichtsartikeln wie seine persönlichen Freunde. In leichter und allgemein zugänglicher Sprache berichtet er über Primzahlen, Fibonacci-Zahlen (und das Nordpolarmeer! ), die klassischen Arbeiten von Gauss über binäre quadratische Formen, Eulers berühmtes primzahlerzeugendes Polynom, irrationale und transzendente Zahlen.

Zahlentheorie: Algebraische Zahlen und Funktionen

Prof. Helmut Koch ist Mathematiker an der Humboldt Universität Berlin.

Introduction to Classical Mathematics I: From the Quadratic Reciprocity Law to the Uniformization Theorem

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Fermat's Last Theorem: The Proof

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Oder allgemein, warum ist m · n = n + n + . . + n = m + m + . . + m = n · m? 2 28 2. Nat¨ urliche Zahlen Um die Frage zu beantworten, hilft ein kleiner Trick weiter. Es ist n¨ amlich von Vorteil, sich die nat¨ urlichen Zahlen m und n als Rasterpunkte eines zweidimensionalen Gitters vorzustellen. ⎧ ⎪ • • ··· • • ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ • • · · · • • ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ • • ··· • • m Zeilen .. .. ⎪ ⎪ . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ • • · · · • • ⎪ ⎪ ⎩ • • ··· • • n Spalten Die Gesamtzahl der Punkte ist nun offenbar unabh¨ angig davon, ob zuerst die Anzahl n der Punkte in den einzelnen Zeilen bestimmt und dann das Ergebnis so oft wiederholt addiert wird, wie es die m Zeilen vorgeben, oder ob umgekehrt zuerst die Anzahl m der Punkte in den einzelnen Spalten bestimmt und dann das Ergebnis so oft wiederholt addiert wird, wie es Spalten gibt, also n-mal.

Dann l¨ sich M in der Form M = {m1 , m2 , . . , mk } schreiben. Nun geht man folgendermaßen vor (und dieses Verfahren ließe sich genau so auf dem Computer programmieren, wenn die Anzahl k der Elemente nicht die M¨ oglichkeiten des Computers u ¨ bersteigt): ur j = 2, . . , k wird nun der Reihe nach Es sei zun¨ achst m0 := m1 gesetzt. F¨ abgefragt, ob mj < m0 ist oder nicht. Ist die Antwort ja“, so wird m0 := mj ” mit diesem j neu gesetzt (das Zeichen := bedeutet definitionsgem¨ aß gleich“; ” was links steht, wird definiert durch die rechte Seite).

M +m n-mal = m + m + . . + m = (n + 1) · m. 2 38 2. 2 Produkt und Induktion Man kann es durchaus als Stilbruch empfinden, dass im eben durchgef¨ uhrten ur die der Leser oder die Induktionsbeweis noch Punkte . “ auftauchen, f¨ ” Leserin in Gedanken etwas einzusetzen hat. Der Grund f¨ ur die Punkte im Induktionsbeweis besteht einfach darin, dass die obige Definition des Produkts den gleichen Sch¨ onheitsfehler hatte. Sollen diese Punkte vermieden werden, so muss diese Definition durch etwas Punktfreies“ ersetzt werden.

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